一个多面体的直观图（主观图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A1B1、B1C1的中点.（1）求证：MN∥平面ACC1A1；（2

Question

一个多面体的直观图（主观图、左视图、俯视图）如图所示， M 、 N 分别为 A ₁ B ₁ 、 B ₁ C ₁ 的中点 .

   （ 1 ）求证： MN ∥ 平面 ACC ₁ A ₁ ；

   （ 2 ）求证： MN ⊥ 平面 A ₁ BC ；

Answer 1

由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且 AC ⊥ BC ， AC=BC=CC ₁ .

   （ 1 ）连结 AC ₁ ， AB ₁ .

        由直三棱柱的性质得 AA ₁ ⊥ 平面 A ₁ B ₁ C ₁ ，所以 AA ₁ ⊥ A ₁ B ₁ ，则四边形 ABB ₁ A ₁ 为短形 .

        由矩形性质得 AB ₁ 过 A ₁ B 的中点 M.

        在 △ AB ₁ C ₁ 中，由中位线性质得 MN//AC ₁ ，

        又 AC ₁ 平面 ACC ₁ A ₁ ， MN 平面 ACC ₁ A ₁ ，

         所以 MN// 平面 ACC ₁ A ₁

   （ 2 ）因为 BC ⊥ 平面 ACC ₁ A ₁ ， AC 平面 ACC ₁ A ₁ ，所以 BC ⊥ AC ₁ .

        在正方形 ACC ₁ A ₁ 中， A ₁ C ⊥ AC ₁ .

        又因为 BC∩A ₁ C=C ，所以 AC ₁ ⊥ 平面 A ₁ BC.

        由 MN//AC ₁ ，得 MN ⊥ 平面 A ₁ BC