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一个多面体的直观图(图1)及三视图(图2)如图所示,其中M,N分别是AF、BC的中点(Ⅰ)求证:MN∥平面CDEF:(Ⅱ)求二面角A-CF-B的余弦值;
题目详情
一个多面体的直观图(图1)及三视图(图2)如图所示,其中M,N分别是AF、BC的中点
(Ⅰ)求证:MN∥平面CDEF:
(Ⅱ)求二面角A-CF-B的余弦值;
(Ⅰ)求证:MN∥平面CDEF:
(Ⅱ)求二面角A-CF-B的余弦值;
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:由三视图知,
该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,
且AB=BC=BF=4,DE=CF=4
,∠CBF=90°,
连结BE,M在BE上,连结CE
EM=BM,CN=BN,所以MN∥CE,CE⊂面CDEF,
所以MN∥平面CDEF.(5分)
(Ⅱ)解法一:作BQ⊥CF于Q,连结AQ,
面BFC⊥面ABFE,面ABFE∩面BFC=BF,
AB⊂面ABFE,AB⊥BF,
∴AB⊥面BCF,
CF⊂面BCF,∴AB⊥CF,BQ⊥CF,AB∩BQ=B,
∴CF⊥面ABQ,AQ⊂面ABQ,
AQ⊥CF,∴∠AQB为所求的二面角的平面角,(8分)
在Rt△ABQ中,tan∠AQB=
=
=
,
∴cos∠AQB=
,
∴二面角A-CF-B的余弦值为
.(12分)
(Ⅱ)解法二:以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(0,4,0),C(0,4,4),F(-4,4,0),
面CBF法向量为
=(0,1,0),
=(0,-4,-4),
=(-4,0,-4),(8分)
设面ACF法向量为
(Ⅰ)证明:由三视图知,
该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,
且AB=BC=BF=4,DE=CF=4
2 |
连结BE,M在BE上,连结CE
EM=BM,CN=BN,所以MN∥CE,CE⊂面CDEF,
所以MN∥平面CDEF.(5分)
(Ⅱ)解法一:作BQ⊥CF于Q,连结AQ,
面BFC⊥面ABFE,面ABFE∩面BFC=BF,
AB⊂面ABFE,AB⊥BF,
∴AB⊥面BCF,
CF⊂面BCF,∴AB⊥CF,BQ⊥CF,AB∩BQ=B,
∴CF⊥面ABQ,AQ⊂面ABQ,
AQ⊥CF,∴∠AQB为所求的二面角的平面角,(8分)
在Rt△ABQ中,tan∠AQB=
AB |
BQ |
4 | ||
2
|
2 |
∴cos∠AQB=
| ||
3 |
∴二面角A-CF-B的余弦值为
| ||
3 |
(Ⅱ)解法二:以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(0,4,0),C(0,4,4),F(-4,4,0),
面CBF法向量为
n |
CA |
CF |
设面ACF法向量为
作业帮用户
2017-11-12
|
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