若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（）A.24π3B.4π3C.2π3D.π3

Question

若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（　　）

A.

(24π)/(3)

B.

(4π)/(3)

C.

(2π)/(3)

D.

(π)/(3)

Answer 1

观察三视图，可得直观图如图所示．

该三棱锥ABCD的底面BCD是直角三角形，
AB⊥平面BCD，CD⊥BC，
侧面ABC，ABD是直角三角形；
由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，
AD是三棱锥ABCD外接球的直径，
AD²=AB²+BC²+CD²=4，
所以AD=2，
三棱锥ABCD外接球的体积V=(4)/(3)πR3=(4π)/(3)，
故选B．