某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积是1212．

Question

某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积是

(1)/(2)

(1)/(2)

．

Answer 1

由题设可得其直观图如图，由三视图知，PA，PB，PC两两垂直
PA=1，BC=√(6)，AB=b，AC=a
如图有PC=√(a2−1)，PB=√(b2−1)
在直角三角形BPC中有PC²+PB²=BC²=6，即a²-1+b²-1=6，即a²+b²=8
可设a=2√(2)cosθ，b=2sinθ，θ∈（0，2π）
则a+b=2√(2)cosθ+2√(2)sinθ=4sin（θ+(π)/(4)）≤4，最大值当θ＝(π)/(4)时取到
此时a=b=2，验证知符合题意
由此知PC=√(a2−1)=

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，底面一边长为1的直角三角形，一条棱长为√(6)，由于本题中含有两个参数，且需求满足两者和最大时的体积，故本题第一步是找到关于a，b的表达式，先求其和最大时两参数的值，再由体积公式求体积，观察发现，可以先用参数a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用勾股定理建立关于a，b的方程，研究此方程求出满足条件的参数的值再求体积即可．

名师点评

本题考点：

由三视图求面积、体积．

考点点评：

本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．本题增加了最值问题的考查，题目难度增加，综合性较强．

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