已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,过椭圆上一点M作直线MA、MB交椭圆于AB两点,且斜率分别为k分别为k1k2若点AB关于原点对称则k1乘k2的值为？

Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,过椭圆上一点M作直线MA、MB交椭圆于AB两点,且斜率分别为k
分别为k1k2若点AB关于原点对称则k1乘k2的值为？

Answer 1

e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=6/9=2/3 ,
所以 a^2=3b^2 ,
设 M（m,n）,A（x0,y0）,B（-x0,-y0）,
可得 k1=(y0-n)/(x0-m) ,k2=(-y0-n)/(-x0-m) ,
所以 k1*k2=(y0^2-n^2) / (x0^2-m^2),
因为 M、A 均在椭圆上,因此 m^2/a^2+n^2/b^2=1 ,x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ,
所以 n^2=b^2*(1-m^2/a^2) ,y0^2=b^2*(1-x0^2/a^2) ,
代入得 k1*k2= -b^2/a^2 = -1/3 .