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已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3分之根号3,直线l:y=x+2已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为 3分之根号3,直线l:y=x+2与以原点为圆心,以椭圆c1的短半轴长为圆半径相切.(1)求椭圆
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已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3分之根号3,直线l:y=x+2
已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为 3分之根号3,直线l:y=x+2与以原点为圆心,以椭圆c1的短半轴长为圆半径相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆长轴,动直线l2垂直l1 于点P,线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足向量QR*向量RS=0,求向量QS的模的取值范围.
已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为 3分之根号3,直线l:y=x+2与以原点为圆心,以椭圆c1的短半轴长为圆半径相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆长轴,动直线l2垂直l1 于点P,线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足向量QR*向量RS=0,求向量QS的模的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
,∴2a2=3b2,
∵直线l:y=x 2与圆x2 y2=b2相切,
∴
2
2
=b
∴b=
2
∴a=
3
,
∴椭圆方程为
x2
3
y2
2
=1 …(3分)
(II)由|MP|=|NF2|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线,以F2为焦点的抛物线.
∴轨迹C2的方程是y2=4x …(6分)
(III)设R(
y12
4
,y1),S(
y22
4
,y2),则
OR
=(
y12
4
,y1),
OS
=(
y22
4
,y2),
∴
RS
=(
y22-y12
4
,y2-y1),
∵
OR
•
RS
=0,∴
y22-y12
4
×
y12
4
y1(y2-y1)=0,
∵y2≠y1,∴y2=-(y1
16
y1
),
∵y22=(y1
16
y1
)2=y12
256
y12
32≥64,当且仅当y12=
256
y12
,即y1=±4等号成立,…(9分)
∵|
OS
|=
1
4
(y22 8)2-64
,y22≥64,
∴当y22,即y2=±8时,|
OS
|取得最小值8
5
,
∴|
OS
|的取值范围是[8
5
,∞)
∵直线l:y=x 2与圆x2 y2=b2相切,
∴
2
2
=b
∴b=
2
∴a=
3
,
∴椭圆方程为
x2
3
y2
2
=1 …(3分)
(II)由|MP|=|NF2|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线,以F2为焦点的抛物线.
∴轨迹C2的方程是y2=4x …(6分)
(III)设R(
y12
4
,y1),S(
y22
4
,y2),则
OR
=(
y12
4
,y1),
OS
=(
y22
4
,y2),
∴
RS
=(
y22-y12
4
,y2-y1),
∵
OR
•
RS
=0,∴
y22-y12
4
×
y12
4
y1(y2-y1)=0,
∵y2≠y1,∴y2=-(y1
16
y1
),
∵y22=(y1
16
y1
)2=y12
256
y12
32≥64,当且仅当y12=
256
y12
,即y1=±4等号成立,…(9分)
∵|
OS
|=
1
4
(y22 8)2-64
,y22≥64,
∴当y22,即y2=±8时,|
OS
|取得最小值8
5
,
∴|
OS
|的取值范围是[8
5
,∞)
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