已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是．

Question

已知双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是___．

Answer 1

由题意，双曲线的渐近线方程为y=±(b)/(a)x，
要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，
则需过右顶点A，且斜率为(√(3))/(3)的直线与双曲线有两个不同的交点，
也只需其斜率大于渐近线y=(b)/(a)x的斜率．
∴(√(3))/(3)>(b)/(a)，∴b<(√(3))/(3)a，
即b²<(1)/(3)a²，
即有c²<a²+(1)/(3)a²，
即为c<(2√(3))/(3)a，
即有1<e<(2√(3))/(3)．
故答案为：（1，(2√(3))/(3)）．