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已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),右顶点是A,若双曲线C右支上存在两点B、C,使△ABC为正三角形,则双曲线C的离心率e的取值范围是.
题目详情
已知双曲线C:
-
=1(a>0,b>0),右顶点是A,若双曲线C右支上存在两点B、C,使△ABC为正三角形,则双曲线C的离心率e的取值范围是___.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
▼优质解答
答案和解析
由题意,双曲线的渐近线方程为y=±
x,
要使该双曲线右支上存在两点B,C使得△ABC为正三角形,
则需过右顶点A,且斜率为
的直线与双曲线有两个不同的交点,
也只需其斜率大于渐近线y=
x的斜率.
∴
>
,∴b<
a,
即b2<
a2,
即有c2<a2+
a2,
即为c<
a,
即有1<e<
.
故答案为:(1,
).
b |
a |
要使该双曲线右支上存在两点B,C使得△ABC为正三角形,
则需过右顶点A,且斜率为
| ||
3 |
也只需其斜率大于渐近线y=
b |
a |
∴
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3 |
b |
a |
| ||
3 |
即b2<
1 |
3 |
即有c2<a2+
1 |
3 |
即为c<
2
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3 |
即有1<e<
2
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3 |
故答案为:(1,
2
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3 |
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