求双曲线的方程已知双曲线c:x2/a2-y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3,且a2=√3/3c。（1）求双曲线c的方程（2）已知直线x-y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值

Question

求双曲线的方程
已知双曲线c:x2/a2-y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3,且a2=√3/3c。
（1）求双曲线c的方程
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值。

Answer 1

①依题意知c/a=√3 a^2=√3c/3
联立得：a=1 c=√3 b=√2
即方程为：x^2-y^2/2=1
②设A(x1,y1) B(x2,y2)
将y=x+m代入方程：
2x^2-x^2-2mx-m^2-2=0
整理得x^2-2mx-(m^2+2)=0
由题意知△＞0
即4m^2+4*(m^2+2)＞0恒成立，故恒有两个交点
由韦达定理得：
x1+x2=2m
由直线方程得：y1+y2=(x1+x2)+2m
即y1+y2=4m
故AB的中点为(2m/2,4m/2) 即(m,2m)
将此点代入x^2+y^2=5中：
m^2+4m^2=5
解得m=±1
故m的值为+1或-1
如有不懂，可追问！