F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝2π3，则它的离心率的取值范围是（）A.(0，12)B.[12，1)C.(0，32]D.[32，1)

Question

F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝(2π)/(3)，则它的离心率的取值范围是（　　）
A. (0，(1)/(2))
B. [(1)/(2)，1)
C. (0，(√(3))/(2)]
D. [(√(3))/(2)，1)

Answer 1

不妨设椭圆的焦点在x轴，设椭圆的上顶点为A，
∵椭圆上存在一点P，∠F₁PF₂=(2π)/(3)，
∴∠F₁AO≥(π)/(3)，
∴tan∠F₁AO=(c)/(b)≥√(3)，
∴(b)/(c)≤(1)/(3)⇔(b2)/(c2)=(a2−c2)/(c2)≤(1)/(3)，
∴(c2)/(a2)≥(3)/(4)，
∴e=(c)/(a)≥(√(3))/(2)，又e＜1．
∴(√(3))/(2)≤e＜1．
故选D．