椭圆的两个焦点为，(c，0)，M是椭圆上的一点，且满足．(1)求离心率的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为；①求此时椭圆G的方程；②设斜率为k(k≠0)

Question

椭圆的两个焦点为，(c，0)，M是椭圆上的一点，且满足．
(1)求离心率的取值范围；
(2)当离心率e取得最小值时，点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k(k≠0)的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．____

Answer 1

【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积运算，椭圆的标准方程，椭圆的性质及直线与椭圆的关系等知识点，
(1)我们设M(x，y)，则易得向量的坐标，由，结合向量垂直的充要条件，我们即可得到x，y的关系式，又由M又在椭圆上，代入椭圆方程即可得到离心率的取值范围．
(2)①由(1)的结论，我们易得到离心率e取得最小值时的椭圆方程(含参数)，再点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为，我们易得到关于参数的方程，解方程即可得到椭圆的方程．②设出未知直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程，然后使用“设而不求”的方法，结合韦达定理及A、B两点能否关于过点、Q的直线对称构造不等式组，解不等式组即可得到k的取值范围．

(1)设M(x，y)，则
由
又M在椭圆上，
∴
∴，
∴，
又0≤x²≤a²，
∴.
∵，
∴；
(2)①当时得椭圆为
设H(x，y)是椭圆上一点，
则|HN|²=x²+(y-3)²=(2b²-2y²)+(y-3)²=-(y+3)²+2b²+18，(-b≤y≤b)
设0<b<3，则-3<-b<0，当y=-b时，|HN|_max²=b²+6b+9，
由题意得b²+6b+9=50
∴，与0<b<3矛盾，
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|_max²=2b²+18，，由2b²+18=50得b²=16，(合题薏)
∴椭圆方程是：；
②．设l：y=kx+m由⇒
而Δ>0⇒m²<32k²+16
又A、B两点关于过点、Q的直线对称
∴，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则
∴⇒
∴
又k≠0，∴或
∴需求的k的取值范围是或

【点评】在处理直线与圆锥曲线的关系类问题时，我们的使用的方法及思路一般有：①联立方程；②设而不求；③韦达定理；④弦长公式等．