已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率。（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x

Question

已知以原点O为中心，F（ ，0）为右焦点的双曲线C的离心率 。

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x ₁ ，y ₁ ）的直线l ₁ ：x ₁ x+4y ₁ y=4与过点N（x ₂ ，y ₂ ）（其中x ₂ ≠x ₁ ）的直线l ₂ ：x ₂ x+4y ₂ y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G，H两点，求 的值。

Answer 1

（1）设C的标准方程为 （a，b>0）， 则由题意 ， 又 因此a=2， C的标准方程为 C的渐近线方程为 即x-2y=0和x+2y=0。
（2）如图，由题意点E（x E ，y E ）在直线l 1 ：x 1 x+4y 1 y=4和l 2 ：x 2 x+4y 2 y=4上， 因此有x 1 x E +4y 1 y E =4，x 2 x E +4y 2 y E =4， 故点M，N均在直线x E x+4y E y=4上， 因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4 设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点， 由方程组 及 解得 ， 故 因为点E在双曲线 上，有 所以 。