P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线离心率为5/4,且向量PF*向量PF2=0,若三角形F1PF2面积是9,求a+b的值

Question

P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线离心率为5/4,且向量PF*向量PF2=0,
若三角形F1PF2面积是9,求a+b的值

Answer 1

P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)上的点
不妨设P在右支上,根据双曲线定义
|PF1|-|PF2|=2a ①
∵向量PF*向量PF2=0,
∴∠F1PF=90º
∴|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|²=4c² ②
∵SΔPF1F2=1/2*|PF1||PF2|=9
∴|PF1||PF2|=18 ③
②²-①:
2|PF1||PF2|=4(c²-a²)=4b²
∴|PF1||PF2|=2b²
结合③ 2b²=18,b²=9,b=3
∵离心率e=c/a=5/4
∴a=4/5c
c²=a²+b²=16/25c²+9
∴c²=25,a²=16,a=4
∴a+b=4+3=7