如图，A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2=3：1．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设=λ1，=λ2．①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时

Question

如图，A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设=λ₁，=λ₂．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁+λ₂的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁+λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设|AF₁|=m，则|AF₂|=3m根据题设及椭圆定义得方程组联立消去m求得a²=2c²，离心率可得．
（2）设A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），分别表示出和，根据=λ₁求得x₁和y₁的表达式代入x₁²+2y₁²=2c²中再与x²+2y²=2c²相减求得2x=cλ₁-3c同理根据=λ₂求得2x=-cλ₂+3c两式相见即可求得λ₁+λ₂=6．说明λ₁+λ₂为定值．
【解析】
（Ⅰ）设|AF₁|=m，则|AF₂|=3m．
由题设及椭圆定义得，
消去m得a²=2c²，所以离心率．
（Ⅱ）设A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则=（-C-x，-y），=（x₁+C，y₁）
∵=λ₁，∴x₁=--c，y₁=-
又x²+2y²=2c²①，x₁²+2y₁²=2c²②，
将x₁，y₁代入②得：
（+c）²+2（）²=2c²即（c+x+cλ₁）²=2y²=2λ₁c²③；
③-①得：2x=cλ₁-3c；
同理：由=λ₂．得2x=-cλ₂+3c；
∴cλ₁-3c=-cλ₂+3c，
∴λ₁+λ₂=6．