直线l与双曲线x2/a2-y2/b2=1交于AB两点,与两条渐近线交于CD两点证明AC=BD

Question

直线l与双曲线x2/a2-y2/b2=1交于A B两点,与两条渐近线交于C D两点
证明AC=BD

Answer 1

直线l与双曲线x²/a²-y²/b²=1交于A、B两点,与两条渐近线交于C、D两点,求证AC=BD
证明：双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线,方程为
x²/a²-y²/b²=0
设直线l过点(h,k),倾角为α,则l的点距式参数方程为
x=x(t)=h+tcosα
y=y(t)=k+tsinα
其中参数t为直线l上的动点(x,y)到定点(h,k)的距离.
将上述x(t),y(t)代入双曲线方程,若整理后得到的关于t的二次方程为
p(t²-qt+r)=1-----------------------------------------------------(1)
那么将x(t),y(t)代入渐近线方程,整理后得到的关于t的二次方程则为
p(t²-qt+r)=0-----------------------------------------------------(2)
由(1)解得A、B对应的t1、t2,及AB的中点所对应的参数(t1+t2)/2=q/2
由(2)解得C、D对应的t3、t4,及CD的中点所对应的参数(t3+t4)/2=q/2
可见AB的中点与CD的中点重合,故AC=BD.
这个解法的p、q、r都是设而不求的,基本上为零计算量.
有诚心的话请加到100分,物有所值,不为过分吧.