已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（I）求双曲线C的方程；(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线

Question

已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。

（I）求双曲线C的方程；                                

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)  （Ⅱ）△AOB面积的取值范围是

解析:

（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点 到渐近线

∴

由  得  ∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由 得P点的坐标为

将P点坐标代入 化简得

设∠AOB

又

记

由

当 时，△AOB的面积取得最小值2，当 时，△AOB的面积取得最大值 ∴△AOB面积的取值范围是

解答二（Ⅰ）同解答一

      （Ⅱ）设直线AB的方程为 由题意知

       由{  得A点的坐标为

       由{  得B点的坐标为

       由 得P点的坐标为  

       将P点坐标代入

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

     = 以下同解答一.