如果说0.999999………=1,那么为什么说渐近线是无限接近而不是相交?为这个问题班里引起了一场不小的风波,

Question

如果说0.999999………=1,那么为什么说渐近线是无限接近而不是相交?
为这个问题班里引起了一场不小的风波,

Answer 1

Good question.以后学了Cantor的实数定义就明白了.
Cantor用有理数基本序列的等价类来定义实数.
就是说对每一个收敛的有理数序列P：a[0],a[1],...,a[n],...,Cantor用该序列的极限值定义一个实数x,就像是给序列P起了个名字叫实数x.当然收敛到x的序列有许许多多,没关系,Cantor认为这些序列都是等价的,它们都可以用实数x作为名字.
所以,说到重点了：
0.999…具有双重“身份”：其一,它直观地代表一个有理数基本序列P：0.9,0.99,0.999,...（就像我们理解的那样,无穷无尽个9,要多少有多少）；其二,它代表序列P的名字,即某个实数x.
事实上,基本序列P和另一个基本序列P':1,1,1,...等价,它们都表达实数1.
这样一来,当我们单独观察0.999…的时候,我们直观地将它理解成序列P本身,这个序列中的每一项确实不等于1,但无限逼近；而另一方面,当我们用0.999…进行计算的时候,我们需要用它的“名字”,0.999…就不再表达序列P,而表达实数1.请注意：0.999… = 1,这里没有任何“逼近”的含义,这个等号是绝对的.理由上面说了,是因为P和P'是等价的有理数基本序列.当然对0.999… = 1这个事情我们还有更简单的证明.
理解了0.999…,渐近线那边也好交代了.因为渐近线通常不具有这种双重身份,即我们没有定义一个“渐近线的等价类”,然后再用极限斜率给这个等价类命名.——当然,我们完全可以这么做.我们只是没有这么做而已.为什么呢?呃……没必要啊.事实是,如果我们要那么做,才应该问“为什么”,因为需要good reason去做某事,而不做则通常不需要……