如图所示，已知直三棱柱ABC–A′B′C′，AC="AB"=AA，=2，AC，AB，AA′两两垂直，E，F，H分别是AC，AB，BC的中点，（I）证明：EF⊥AH；（II）求平面EFC与平面BB′C′所成夹角的余弦值．

Question

如图所示，已知直三棱柱ABC–A′B′C′，AC ="AB" =AA，=2，AC，AB，AA′两两垂直，  E，F，H分别是AC，AB，BC的中点， 
（I）证明：EF⊥AH；   
（II）求平面EFC与平面BB′C′所成夹角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析  （Ⅱ） .

(I)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决。本小题连接 , 分别是 的中点后，可知 ,这样可以通过证 面 ,得 ，故 .
(II)以A为原点，AB、AA`、AC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，然后分别求出平面EFC和平面BB′C′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值
（Ⅰ）如图连接 , 分别是 的中点,
故 是 的中位线， ，………………2分
又由 , 两两垂直知，
，又 面 , 面 ，则 …………4分
即 面 ,则 ，故 .…………………………6分
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，
,
………………………………8分

显然 =0，故
不妨设面 的法向量为
，
即： ，
不妨令 ，………………10分
易知 面 ，不妨令面 的法向量为
设面

作业帮用户 2017-10-10 举报

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