已知抛物线y=2ax^2+4ax+3（a不等于0）,当x取一切实数时,该抛物线所对应的二次函数能否取得最大值3?为什么?

Question

已知抛物线y=2ax^2+4ax+3（a不等于0）,当x取一切实数时,该抛物线所对应的二次函数能否取得最大值3?为什么?

Answer 1

y=2ax^2+4ax+3=2a(x^2+2x)+3=2a[(x+1)^2-1]+3=2a(x+1)^2-2a+3.
a>0时,抛物线开口向上,没有最大值；a<0时,抛物线开口向下,在顶点x=-1处取到最大值-2a+3.要使x取一切实数时,该抛物线所对应的二次函数取得最大值3,则a<0,且-2a+3=3,得a=0,矛盾,故不能取得最大值3.