如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；（Ⅲ）求直线AC与平面PCD所

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求直线AC与平面PCD所成角．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（4分）
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（4分）
（Ⅲ）连接CG，∴

AG⊥CG，则∠ACG为所求的角．

在Rt三角形ACG中，∠AGC=90°
可得

AG＝(1)/(2)AC，∠ACG＝30°

…2分．