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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(Ⅰ)求证:AG⊥平面PCD;(Ⅱ)求证:AG∥平面PEC;(Ⅲ)求直线AC与平面PCD所
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c9fcc3cec3fdfc0341ef2009d73f8794a5c226e8.jpg)
(Ⅰ)求证:AG⊥平面PCD;
(Ⅱ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅲ)求直线AC与平面PCD所成角.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c9fcc3cec3fdfc0341ef2009d73f8794a5c226e8.jpg)
(Ⅰ)求证:AG⊥平面PCD;
(Ⅱ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅲ)求直线AC与平面PCD所成角.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AG,
又PD⊥AG![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/574e9258d109b3de311427d9cfbf6c81810a4cdc.jpg)
∴AG⊥平面PCD …(4分)
(Ⅱ)证明:作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG,又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴AG∥平面PEC …(4分)
(Ⅲ)连接CG,∴
在Rt三角形ACG中,∠AGC=90°
可得
…2分.
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/574e9258d109b3de311427d9cfbf6c81810a4cdc.jpg)
∴AG⊥平面PCD …(4分)
(Ⅱ)证明:作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG,又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴AG∥平面PEC …(4分)
(Ⅲ)连接CG,∴
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在Rt三角形ACG中,∠AGC=90°
可得
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