（2014•清远一模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是边长为a的正方形，AB=AC，BC=2AB，A1A⊥平面ABC，BC∥B1C1，且BC=2B1C1．（1）求证：A1C1∥面ABC；（2）求证：A1C1⊥平面B1BCC1；（3）求三

Question

（2014•清远一模）如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是边长为a的正方形，AB=AC，BC=√(2)AB，A₁A⊥平面ABC，BC∥B₁C₁，且BC=2B₁C₁．
（1）求证：A₁C₁∥面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）求三棱锥B-A₁CC₁的体积．

Answer 1

（1）证明：取BC的中点D，连接AD，B₁D，C₁D
∵B₁C₁∥BC且BC=2B₁C₁，
∴B₁C₁DB是平行四边形，故C₁D₁∥B₁B，且C₁D₁=B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，∴A₁A∥C₁D，且A₁A=C₁D
∴A₁ADC₁是平行四边形
∴A₁C₁∥AD，
∵AD⊂面ABC，
∴A₁C₁∥面ABC；
（2）证明：∵A₁A⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴A₁A⊥AD，
∵A₁A∥C₁D，
∴C₁D⊥AD
∵△ABC是等腰直角三角形，∠CAB是直角，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁D=D，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
∵A₁C₁∥AD，
∴A₁C₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）V_B-A1CC1=V_A1-BCC1=(1)/(3)S_△BCC1•A₁C₁=(1)/(3)•(1)/(2)•√(2)a•a•(√(2))/(2)a=(1)/(6)a3．