用数学归纳法证明对于任意n,n∈N*；任意连续n个正整数的乘积是n!的倍数

Question

用数学归纳法证明
对于任意n,n∈N* ；任意连续n个正整数的乘积是n!的倍数

Answer 1

证明：n=1时明显成立
假设 n=k 也成立
n=k+1时,令S(n)表示任意连续n个正整数的乘积
S(k+1)=S(k)*a(k+1)
=m * k!* a(k+1)
由于任意连续k+1个正整数中必有一个是 k+1 的倍数,所以
m*a(k+1)一定能整除 k+1,可令 m*a(k+1)=(k+1)*p
S(k+1)=p*(k+1)*k!=p*(k+1)!
所以 n=k+1 时也成立
由归纳法知道,该结论成立