已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且向量OA=3x向量BO+4y向量CO+5z向量DO,则3x+4y+5z=?

Question

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且向量OA=3x向量BO+4y向量CO+5z向量DO,则3x+4y+5z=?

Answer 1

有一个这样的结论：
设A、B、C是不共线的3个点.则对空间任意一点P,都存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC,若x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.
那么按照你题目给的条件,很明显答案就是1
至于过程的话,我直接证那个结论吧.
假设向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC
且x+y+z=1,且A,B,C,O,P任意4点都不共面.
那么z=1-x-y
则向量OP=x向量OA+y向量OB+（1-x-y）向量OC
向量OP=x向量OA+y向量OB+向量OC-x向量OC-y向量OC
向量OP-向量OC=x（向量OA-向量OC）+y（向量OB-向量OC）
向量OC=x向量CA+y向量CB
而任意一个平面内的某个向量,均可表示为另外两个不共线的向量分别乘以两个系数后的矢量和,换言之,由向量OC=x向量CA+y向量CB可推出,点O,C,A,B都是共面的,而题目的假设是任意四点都不共面.因此题目的假设是错误的,那么原命题成立.