高中的一个三角函数问题已知三角形ABC中,sinA^2+sinB^2=6sinC^2,求(1/tanA+1/tanB)tanC=

Question

高中的一个三角函数问题
已知三角形ABC中,sinA^2+sinB^2=6sinC^2,求(1/tanA+1/tanB)tanC=______

Answer 1

(1/tanB+1/tanC)*tanA=tanA*(tanB+tanC)/(tanBtanC)
=tanA*(sinBcosC+sinCcosB)/(sinBsinC)[分子分母同时乘以cosBcosC]
=sinA*sin(B+C)/(sinBsinCcosA)
=(sinA)^2/(sinBsinCcosA)[B+C=180度-A]
所以 (1/tanB+1/tanC)*tanA=a^2/(bc*cosA)[由正弦定理可得] 1式
6sinA的平方＝sinB的平方＋sinC的平方
可由正弦定理推出,6a^2=b^2+c^2 2式
再根据余弦定理,a^2=b^2+c^2-2bc*cosA 3式
将2式代入3式,得5a^2=2bc*cosA 4式
最后将4式代入1式,可得所求式子的值为2/5