怎么用正弦定理证明梅氏定理?

Question

怎么用正弦定理证明梅氏定理?

Answer 1

梅氏(Menlaus)定理
三角形ABC,及点D、E、F分别在直线AB、AC、BC的三点.
则D、E、F共线当且仅当(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1.
证明：
证法一：假设D、E、F共线,首先过点C作平行AB的直线交直线DFE於G.
相似三角形的线段比例；
有相似三角形AED、CEG,得CE/EA=CG/AD；

有相似三角形FDB、FGC,得BF/FC=DB/GC；

因此有(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=(DB/GC)(CG/AD)(AD/DB)=1.
相反地,假设(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1,延长EF交AB於点D'(如下图二)：


求证D、D'重合.由梅氏定理,得知 (BF/FC)(CE/EA)(AD'/D'B)=1,所以得
(AD')/(D'B)=AD/DB,从而得(AD')/(AB)=(AD')/(AD'+D'B)=(AD)/(AD+DB)=AD/AB.
因此AD'=AD,即D与D'重合.
有兴趣的读者可以考虑以下的方法.
证法二：相似三角形的面积比例；
证法三：三角形的面积公式A=(ab sinC)/2.以下的网页有很多习题
梅涅劳斯定理与塞瓦定理