设函数g（x）=ex+2x-a（a∈R，e为自然对数底数），定义在R上函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x2，且当x<0时，f′（x）<x，若存在x0∈{x|f（x）+12≥f（1-x）+x}．使g[g（x0）]=

Question

设函数g（x）=e^x+2x-a（a∈R，e为自然对数底数），定义在R上函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，且当x<0时，f′（x）<x，若存在x₀∈{x|f（x）+ (1)/(2)≥f（1-x）+x}．使g[g（x₀）]=x₀，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

∵f（-x）+f（x）=x²
∴令F（x）=f（x）-(1)/(2)x2，
∴f（x）-(1)/(2)x2=-f（-x）+(1)/(2)x²
∴F（x）=-F（-x），即F（x）为奇函数，
∵F′（x）=f′（x）-x，
且当x<0时，f′（x）<x，
∴F′（x）<0对x<0恒成立，
∵F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递减，
∵f（x）+(1)/(2)≥f（1-x）+x，
∴f（x）+(1)/(2)-(1)/(2)x2≥f（1-x）+x-(1)/(2)x2，
即F（x）≥F（1-x），
∴x≤1-x，
x₀≤(1)/(2)，
由g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），
而g（x）如果与其反函数相交，则交点一定在直线y=x上，
故有g（x₀）=x₀，
即h（x）=e^x+x-a=0在（-∞，(1)/(2)]有解．
∵h′（x）=e^x+1，
∴h（x）在R上单调递增．
∴h（x）_max=h（(1)/(2)）=√(e)+(1)/(2)-a≥0即可，
∴a≤√(e)+(1)/(2)．