设A为n阶实对称矩阵且A的主对角线上的元素之和等于正整数N，求|E+2A|的最大值．

Question

设A为n阶实对称矩阵且A的主对角线上的元素之和等于正整数N，求|E+2A|的最大值．

Answer 1

设a_i（i=1，2，…，n）是A的n个特征值，则|E+2A|=（1+2a₁）（1+2a₂）…（1+2a_n）
∴由题意，构造拉格朗日函数f=（1+2a₁）（1+2a₂）…（1+2a_n）+s（a₁+a₂+…+a_n），其中s为参数
令f对a_i（i=1，2，…，n）和s的一阶偏导数为零，得

2(1+2a2)(1+2a3)…(1+2an)+s=0

2(1+2a1)(1+2a3)…(1+2an)+s=0

…

2(1+2a1)(1+2a2)…(1+2an-1)+s=0

解得唯一极值点a1=a2=…=an=(N)/(n)
此唯一极值点就是|E+2A|的最大值点
∴|E+2A|的最大值为(1+2(N)/(n))n