设F包含于E为代数扩张,a∈E,证明存在F上不可约多项式f(x),使得f(a)=0书上全都是概念,例子也是一句话带过,学这章好痛苦,好帮助我理解来学,

Question

设F包含于E为代数扩张,a∈E,证明存在F上不可约多项式f(x),使得f(a)=0
书上全都是概念,例子也是一句话带过,学这章好痛苦,好帮助我理解来学,

Answer 1

概念是很重要的,必须反复琢磨,并结合例子理解.
以这道题来说,主要还是使用定义.
由E是F上的代数扩张,a作为E中的元素都是F上的代数元,
即存在非零的F-系数多项式f(x)使f(a) = 0.
在所有在a处取0的F-系数多项式中,选取f(x)使其次数最小.
断言这样的f(x)必定在F上不可约.
若不然,设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数小于deg(f)的F系数多项式.
由0 = f(a) = g(a)h(a),可得g(a) = 0或h(a) = 0,
即存在次数小于deg(f)的F-系数多项式在a处取0,与f(x)次数最小矛盾.
因此f(x)在F上不可约,即满足条件.