设α1，α2，α3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系．证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．

Question

设α₁，α₂，α₃是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系．证明α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁也是该方程组的一个基础解系．

Answer 1

因为α₁，α₂，α₃是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，
从而：α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁也是方程组AX=0的解，并且有：n-r（A）=3，
要证：α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁也是该方程组的一个基础解系，
只需证：α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁线性无关，
∵

α1+α2

α2+α3

α3+α1

=

1	1	0
0	1	1
1	0	1

 

α1

α2

α3

且

.

1	1	0
0	1	1
1	作业帮用户 2017-10-21 问题解析 为证α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系，只需验证： （1）α1+α2，α2+α3，α3+α1是方程组AX=0的解； （2）向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关； （3）r（α1+α2，α2+α3，α3+α1）=n-r（A）． 名师点评 本题考点： 基础解系、通解及解空间的概念；向量组线性无关的判定与证明． 考点点评： 本题考查了基础解系的概念、齐次线性方程组解的性质以及向量组线性无关的判定与证明，题目的综合性较强． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议