(1)如果a1,a2,a3线性无关,而3a1-a2+a3,2a1+a2-a3,a1+ta2+2a3线性相关,则t=?(2)解矩阵方程AX-B=2C,其中│210││13││21│A=│03-1│,B=│25│,C=│12││3-24││2-1││-1-1│{X1+X2+2X3+3X4=1(3)当a

Question

(1)如果a1,a2,a3线性无关,而3a1-a2+a3 ,2a1+a2-a3 ,a1+ta2+2a3线性相关,则t=?
(2)解矩阵方程AX-B=2C,其中
│2 1 0│ │1 3│ │2 1│
A=│0 3 -1│ ,B= │2 5│ ,C=│1 2│
│3 -2 4│ │2 -1│ │-1 -1│
{X1+ X2+ 2X3+ 3X4 =1
(3)当a取何值时,线性方程组{X1+ 3X2+ 6X3+ X4 =3
{X1+ 5X2+ 10X3- X4=5
{3X1+ 5X2+ 10X3+ 7X4=a
在方程组有解时,求出线性方程组的全部解.

Answer 1

1.因为3a1-a2+a3 ,2a1+a2-a3 ,a1+ta2+2a3线性相关,
所以存在不全为0的三个数m,n,p,使得
m(3a1-a2+a3)+n(2a1+a2-a3)+p(a1+ta2+2a3)=0
即(3m+2n+p)a1+(-m+2n+pt)a2+(m-n+2p)a3=0
因为a1,a2,a3线性无关,所以
3m+2n+p=0
-m+2n+pt=0
m-n+2p=0
解上述三个方程组成的方程组得t=-3
2.因为
|A|=17 存在逆矩阵
所以AX=B+2C X=A^(-1)(B+2C)
A的伴随矩阵=[-10 -4 1
3 8 -2
9 7 -6]
X=A^(-1)(B+2C)
=(1/17)*[-10 -4 1
3 8 -2
9 7 -6] *
[5 5
4 9
0 -3]
=[-66/17 -89/17
47/17 93/17
73/17 126/17]
3.线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与 增广矩阵有相同的秩
对本题方程组的增广矩阵进行初等行变换
可得到如下矩阵
1 1 2 3 1
0 1 2 -1 1
0 0 0 0 a-5
0 0 0 0 0
所以只有当a=5,系数矩阵与 增广矩阵才有相同的秩方程组才有解
x1=-x4
x2=-2x3+x4
方程组的基础解系为
g1=[0,-2,1,0)^T
g2=[-1,1,0,1]^T
所以方程组的解集为
k1*[0,-2,1,0)^T+k2*[-1,1,0,1]^T