线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…&…&…&…an-1，1x1+an-1，2x2+…+an-1，nxn=0的系数矩阵为A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an-1，1an-1，2…an-1，n．设Mj（j=1，2，…，n）是

Question

线性方程组

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…

 &…

 &…

 &…

an-1，1x1+an-1，2x2+…+an-1，nxn=0

的系数矩阵为A=

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an-1，1	an-1，2	…	an-1，n

．
设M_j（j=1，2，…，n）是在矩阵A中化去第j列所得到的n-1阶子式．求证：
（1）（M₁，-M₂，…，（-1）^n-1M_n）是方程组的一个解；
（2）如果A的秩为n-1，那么方程组的解全是（M₁，-M₂，…，（-1）^n-1M_n）的倍数．

Answer 1

证明：
（1）构造一个行列式，
D(i)=

.

ai1	ai2	…	ain
a11	a12	…	a2n
…	…	…	…
an-1，1	an-1，2	…	an-1，n

.

，i=1，2，…，n-1
显然，D（i）=0．
将D（i）按第一行展开得，
D(i)=ai1M1-ai2M2+…+(-1)n-1Mn=0，i=1，2，…，n-1
从而（M₁，-M₂，…，（-1）^n-1M_n）是方程组的一个解．
（2）首先，A的秩为n-1，则方程组的解空间的维数为1．而由上问（M₁，-M₂，…，（-1）^n-1M_n）是方程组的一个解，
故只须证（M₁，-M₂，…，（-1）^n-1M_n）是非零即可．
另一方面，A的秩为n-1，则A有一n-1阶子式不为零，即存在一个M_k，有M_k≠0，
从而（M₁，-M₂，…，（-1）^n-1M_n）非零．问题得证．