余数定理一个整系数四次多项式f(x),有四个不同的整数a,b,c,d,是f(a)=f（b）=f(c)=f(d)=1求证,任何整数e都不能使f(e)=-1

Question

余数定理
一个整系数四次多项式f(x),有四个不同的整数a,b,c,d,是f(a)=f（b）=f(c)=f(d)=1求证,任何整数e都不能使f(e)=-1

Answer 1

根据所给条件易知：
f(x)-1=m(x-a)(x-b)(x-c)(x-d),m是f(x)首相系数,为整数.
若存在整数e使得f(e)=-1,那么
-2=m(e-a)(e-b)(e-c)(e-d),可见m|2,所以m=±1,±2.
若m=±2,则(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)=±1,四个整数乘积为±1,它们只能在-1,1两个数中取值,因此必有两个相等,这与a,b,c,d两两不同矛盾.
若m=±1,则(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)=±2,四个整数乘积为±2,它们中必有一个等于±2,另外三个的乘积为±1,这三个整数只能在-1,1中取值,因此必有两个相等,这与a,b,c,d两两不同矛盾.
综上可知不存在整数e使得f(e)=-1.