已知等边三角形ABC的两个顶点为A（-1,2）,B（3,-1）,求三角形ABC外接圆的方程

Question

已知等边三角形ABC的两个顶点为A（-1,2）,B（3,-1）,求三角形ABC外接圆的方程

Answer 1

^2是平方
等边三角形边长AB=√((-1-3)^2+(2-(-1))^2)=5
设C(x,y),则AC^2=(x-(-1))^2+(y-2)^2=5^2,且BC^2=(x-3)^2+(y-(-1))^2=5^2
两式相减得x=(6y+5)/8,代回任意一个方程得4y^2-4y-47=0
解得y=(1±4√3)/2,相应地,x=(2±3√3)/2
设正三角形ABC中心为O,则O为△ABC重心
根据重心坐标公式
O的横坐标为(-1+3+(2±3√3)/2)/3=(2±√3)/2,O的纵坐标为(2-1+(1±4√3)/2)=(3±4√3)/6
则△ABC外接圆圆心O的坐标为((2+√3)/2,(3+4√3)/6)或((2-√3)/2,(3-4√3)/6)
 
联结CO并延长,交AB于H,由于O是垂心,所以CH⊥AB于H
在Rt△ACH中,∠AHC=90°,所以CH=ACsin∠A=5sin60°=5√3/2
而O也是△ABC重心,所以CO=CH/3*2=5√3/3,即外接圆半径为5√3/3
而(5√3/3)^2=25/3,所以△ABC外接圆⊙O的方程为：
(x-(2+√3)/2)^2+(y-(3+4√3)/6)^2=25/3 或 (x-(2-√3)/2)^2+(y-(3-4√3)/6)^2=25/3