求数列前N项和求数列sinX+sin2X+sin3X+.+sinNX答案中提示:将式子乘以1/2sin(X/2),然后积化和差,可得结果具体怎么积化和差?

Question

求数列前N项和
求数列
sinX+sin2X+sin3X+.+sinNX
答案中提示:将式子乘以1/2sin(X/2),然后积化和差,可得结果
具体怎么积化和差?

Answer 1

sinX乘以sin(X/2)=1/2（cos(x+x/2)-cos(x-x/2)）
sin2X乘以sin(X/2)=1/2（cos(2x+x/2)-cos(2x-x/2)）
sin3X乘以sin(X/2)=1/2（cos(3x+x/2)-cos(3x-x/2)）
.
sinNX乘以1/2sin(X/2)=1/2（cos(Nx+x/2)-cos(Nx-x/2)）
发现上下两式括号里可以约简
所以原式=(1/2(cos((N+1/2)x)-cos(x-x/2)）)/sin(X/2)
(和差化积)=-（sin((N+1)x/2)*sin(Nx/2))/sin(X/2)
剩下的你自己应该会吧