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设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有等根,那么角B()A.B>60°B.B≥60°C.B<60°D.B≤60°

题目详情
设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有等根,那么角B(  )
A. B>60°
B. B≥60°
C. B<60°
D. B≤60°
▼优质解答
答案和解析
A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有等根,
故有△=(sinA-sinC)2-4(sinB-sinA)(sinC-sinB)=0.
根据正弦定理得:(a-c)2-4(b-a)(c-b)=a2+c2-2ac-4(bc-b2-ac+ab)=(a2+c2+2ac)-4(ab+bc)+4b2
=(a+c)2-4b(a+c)+4b2=(a+c-2b)2=0,
即a+c=2b.
∴cosB=
a2+c 2−b2
2ac
=
(a+c)2−2ac−b2
2ac
=
3b2−2ac
2ac
=
3
2
b2
ac
-1,
∵(2b)2=(a+c)2≥4ac,∴b2≥ac,∴
3
2
b2
ac
-1≥
3
2
-1=
1
2

又∵-1<cosB<1,∴
1
2
≤cosB<1,∴0<B≤60°,
故选D.