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设f(x)连续且是以2为周期的函数,证明F(x)=2∫﹙0,x﹚f(t)dt-x∫﹙0,2﹚f(t)dt也是以2为周期的函数
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设f(x)连续且是以2为周期的函数,
证明F(x)=2∫﹙0,x﹚f(t)dt-x∫﹙0,2﹚f(t)dt也是以2为周期的函数
证明F(x)=2∫﹙0,x﹚f(t)dt-x∫﹙0,2﹚f(t)dt也是以2为周期的函数
▼优质解答
答案和解析
f(x)连续且是以2为周期的函数
f(x) = f(x+2)
F(x)=2∫﹙0,x﹚f(t)dt-x∫﹙0,2﹚f(t)
F(x+2) = 2∫﹙0,x+2﹚f(t)dt-(x+2)∫﹙0,2﹚f(t)
= [2∫﹙0,x﹚f(t)dt -x∫﹙0,2﹚f(t)dt ] + 2[∫﹙x,x+2﹚f(t)dt - ∫﹙0,2﹚f(t)dt]
=F(x) +2[∫﹙x,x+2﹚f(t)dt - ∫﹙0,2﹚f(t)dt]
= F(x)
∫﹙x,x+2﹚f(t)dt = ∫﹙0,2﹚f(t)dt ( f(x) 以2为周期的函数)
f(x) = f(x+2)
F(x)=2∫﹙0,x﹚f(t)dt-x∫﹙0,2﹚f(t)
F(x+2) = 2∫﹙0,x+2﹚f(t)dt-(x+2)∫﹙0,2﹚f(t)
= [2∫﹙0,x﹚f(t)dt -x∫﹙0,2﹚f(t)dt ] + 2[∫﹙x,x+2﹚f(t)dt - ∫﹙0,2﹚f(t)dt]
=F(x) +2[∫﹙x,x+2﹚f(t)dt - ∫﹙0,2﹚f(t)dt]
= F(x)
∫﹙x,x+2﹚f(t)dt = ∫﹙0,2﹚f(t)dt ( f(x) 以2为周期的函数)
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