设f（x）连续且是以2为周期的函数,证明F（x）=2∫﹙0,x﹚f（t）dt-x∫﹙0,2﹚f（t）dt也是以2为周期的函数

Question

设f（x）连续且是以2为周期的函数,
证明F（x）=2∫﹙0,x﹚f（t）dt-x∫﹙0,2﹚f（t）dt也是以2为周期的函数

Answer 1

f（x）连续且是以2为周期的函数
f(x) = f(x+2)
F（x）=2∫﹙0,x﹚f（t）dt-x∫﹙0,2﹚f（t）
F(x+2) = 2∫﹙0,x+2﹚f(t)dt-(x+2)∫﹙0,2﹚f（t）
= [2∫﹙0,x﹚f(t)dt -x∫﹙0,2﹚f(t)dt ] + 2[∫﹙x,x+2﹚f(t)dt - ∫﹙0,2﹚f（t）dt]
=F(x) +2[∫﹙x,x+2﹚f(t)dt - ∫﹙0,2﹚f（t）dt]
= F(x)
∫﹙x,x+2﹚f(t)dt = ∫﹙0,2﹚f（t）dt ( f(x) 以2为周期的函数)