若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x-a）+f（x+a）（a＞0）,则f（x）是周期函数,且6a是它的一个周...若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x-a）+f（x+a）（a＞0）,则f（x）是周期函数,且6a是它的

Question

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x-a）+f（x+a）（a＞0）,则f（x）是周期函数,且6a是它的一个周...
若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x-a）+f（x+a）（a＞0）,则f（x）是周期函数,且6a是它的一个周期.

Answer 1

由题目中的式子可得
f(x+a)=f(x+a-a)+f(x+a+a)=f(x)+f(x+2a) ①
f(x+2a)=f(x+2a-a)+f(x+2a+a)=f(x+a)+f(x+3a) ②
②代入①,f(x+a)=f(x)+f(x+a)+f(x+3a),整理得
f(x)=-f(x+3a). ③
于是由③得,f(x+3a)=-f(x+3a+3a)=-f(x+6a) ④
④代入 ③得,f(x)=-(- f(x+6a))=f(x+6a),
即f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期