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设周期函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,周期为4.又limx→0f(1)−f(1−x)2x=-1,则曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为()A.12B.0C.-1D.-2

题目详情
设周期函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,周期为4.又
lim
x→0
f(1)−f(1−x)
2x
=-1,则曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为(  )

A.
1
2

B.0
C.-1
D.-2
▼优质解答
答案和解析

由函数导函数的定义知:
f′(x0)=
lim
x→x0
f(x+x0)−f(x)
x0


lim
x→0
f(1)−f(1−x)
2x
=
1
2
lim
x→0
f(1)−f(1−x)
x
=
1
2
f′(1)
由已知得:
lim
x→0
f(1)−f(1−x)
2x
=−1
∴f′(1)=-2
∵f(x)在(-∞,+∞)上是以4为周期的周期函数,
∴f(x+4)=f(x)
∵f(x)在(-∞,+∞)上是可导的
且若f(x)是可导周期函数,则f′(x)也是周期函数
∴等式两边同时求导
∴f′(x+4)=f′(x)
令x=1
∴f′(5)=f′(1)=-2
即曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率f′(5)=-2.
故选:D