已知正整数数列{an}的前n项和sn=1/2*(an+1/an),求{an}的通项公式

Question

已知正整数数列{an}的前n项和sn=1/2*(an+1/an),求{an}的通项公式

Answer 1

Sn=1/2(an+1/an),an>0
令x=1得：S1=1/2(a1+1/a1) 解得a1=1
注意到an=Sn-S(n-1),上式可化为：
Sn=1/2(Sn-S(n-1) +1/( Sn-S(n-1)))
即：2Sn=Sn-S(n-1) +1/( Sn-S(n-1))
Sn+S(n-1) =1/( Sn-S(n-1))
Sn²-S(n-1)²=1
数列{ Sn²}是以1为首项,公差为1的等差数列.
∴Sn²=1+(n-1)×1=n,Sn=√n
从而n=1时 an=1
n≥2时 an=√n-√(n-1).
∴n∈N*时,an=√n-√(n-1).