已知函数f(x)=lnx-x+a(a∈R)(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围（2）若函数f(x)在x∈[t,t+1]为单调函数求实数t的范围（3）证明ln2/2²+ln3/3²+....+lnn/n²＜2n²-n+1/4(n+1)（n∈N*且n≥2

Question

已知函数f(x)=lnx-x+a(a∈R)
(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围 （2）若函数f(x)在x∈[t,t+1]为单调函数求实数t的范围（3）证明ln2/2²+ln3/3²+....+lnn/n²＜2n²-n+1/4(n+1) （n∈N*且n≥2）

Answer 1

(1) f(x)=lnx-x+a没有零点，即其最小值大于零或其最大值小于零
　　令 f'(x)=1/x-1=0 得 x=1
　　∵ f''(x)-1/x^2<0
　　∴ 当x=1时，函数取得最大值：-1+a<0 a<1
(2) ∵ [t,t+1]长度为1
　　∴t>=1或t+1<=1时函数均单调
　　∴实数t的范围：（-∞, 0], [1,+∞)
(3) 考虑函数 y=lnx/x^2
　　y'=1/x^3-2lnx/x^3=(1-2lnx)/x^3
　　驻点：x=√e 当x>√e时 y'<0 函数递减
　　对于[i,i+1] (i>2) 有
　　lni/i^2　　∴ln2/2^2+ln3/3^2+……+lnn/n^2
　　　　<2n²-n+1/4(n+1)