证明函数f(x)=[根号(x+1)]-x在[-3/4,+无限大)内是单调递减

Question

证明函数f(x)=[根号(x+1)]-x在[-3/4,+无限大)内是单调递减

Answer 1

换元法：令√(x+1)=t,因为x≧-3/4,所以可得：t≧1/2；
x+1=t^2,所以：x=t^2-1；
所以f(x)=t-(t^2-1)=-t^2+t+1,
是一个二次函数,开口向下,对称轴是t=1/2,
所以在对称轴右边（即t≧1/2时）是单调递减的；
所以可知：f(x)在区间[-3/4,+∞）上是单调递减的.
定义法证明如下：令-3/4≦x10,分母 √(x1+1)+√(x2+1)>0
而因为：-3/4≦x11/2,
所以分子中：√(x1+1)+√(x2+1) -1>0
所以可知：②式>0
即：f(x1)-f(x2)>0,
也就证得了：-3/4≦x1f(x2),
所以：f(x)在区间[-3/4,+∞）上是单调递减的.
如果不懂,请Hi我,