已知有穷数列A：a1，a2，…，an，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将ai+aj1+aiaj的值添在A的最后

Question

已知有穷数列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项a_i，a_j，将(ai+aj)/(1+aiaj)的值添在A的最后，然后删除a_i，a_j，这样得到一个n-1项的新数列A₁（约定：一个数也视作数列）．若A₁还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A₂，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作A_k．
（Ⅰ）设A：0，(1)/(2)，(1)/(3)…请写出A₁的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：-(5)/(7)，-(1)/(6)，-(1)/(5)，-(1)/(4)，(5)/(6)，(1)/(2)，(1)/(3)，(1)/(4)，(1)/(5)，(1)/(6)…求A₉的可能结果，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）直接按定义来操作，当取0，(1)/(2)时代入计算可得：A1；(1)/(3)，(1)/(2)；
当取0，(1)/(3)时可得A₁：(1)/(2)，(1)/(3)；
当取(1)/(2)，(1)/(3)时，可得A₁：0，(5)/(7)．
故有如下的三种可能结果：A1；(1)/(3)，(1)/(2)；A₁：(1)/(2)，(1)/(3)；A₁：0，(5)/(7)．…（3分）
（Ⅱ）因为对∀a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
(a+b)/(1+ab)−1＝(−(a−1)(b−1))/(1+ab)＜0且(a+b)/(1+ab)−(−1)＝((a+1)(b+1))/(1+ab)＞0
所以(a+b)/(1+ab)∈{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新数列仍是T数列．
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，
所以对T数列A每操作一次，项数就减少一项，
所以对n项的T数列A可进行（n-1）次操作（最后只剩下一项）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中仅有一项．
对于满足a，b∈{x|-1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a⊙b=(a+b)/(1+ab)，
下面证明这种运算满足交换律和结合律．
因为a⊙b=(a+b)/(1+ab)，且b⊙a=(b+a)/(1+ba)，所以a⊙b=b⊙a，即该运算满足交换律；
因为a⊙（b⊙c）=a⊙(b+c)/(1+bc)=(a+(b+c)/(1+bc))/(1+a•(b+c)/(1+bc))＝(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ac)
且（a⊙b）⊙c=

作业帮用户 2016-12-07

问题解析

（Ⅰ）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出A₁的所有可能的结果；
（Ⅱ）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；
（Ⅲ）先定义运算：a⊙b=

a+b

(a+b)/(1+ab)，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（Ⅱ）可知A₉中仅有一项，再按定义先求出A₅，综合即可得到A₉的可能结果．

名师点评

本题考点：

数列的应用．

考点点评：

本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．

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