设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+…+an=0；②|a1|+|a2|+…+|an|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若等比

Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若等比数列{a_n}为2014阶“期待数列”，求公比q的值；
（Ⅲ）若一个等差数列{a_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．

Answer 1

（1）3阶“期待数列”：-(1)/(2)，0，(1)/(2)；
4阶“期待数列”：−(3)/(8)，−(1)/(8)，(1)/(8)，(3)/(8)；
（2）若q≠1，①a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=(a1(1−q2014))/(1−q)=0，得q=-1，
②|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₁₄|=1，a₂₀₁₄=(1)/(2014)，a₂₀₁₄=−(1)/(2014)，
若q=1，则a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=0，则2014a₁=0，a₂₀₁₄=0，不可能，
综上；q=-1，
（3）一个等差数列{a_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，
公差为d，可知d＞0，
∵a₁+a₂+…+a_2k=0，
∴(1)/(2)×2k（a₁+a_2k）=0，即a₁+a_2k=0，a_k+a_k+1=0
∵d＞0，∴a₁＜0，a_2k＞0，a_k＜0，a_k+1＞0，
由题目中的条件可知：a₁+a₂+…+a_k=−(1)/(2)，
a_k+1+a_k+2+••+a_2k=(1)/(2)，
两式相减得：k²d=1，d=(1)/(k2)，
又ka₁+(k(k−1))/(2)×(1)/(k2)=-(1)/(2)，
a₁=(1−2k)/(2k2)，
∴a_n=a₁+（n-1）d=(1−2k)/(2k2)+（n-1）(1)/(k2)=(1)/(k2)n−(2k+1)/(2k2)，（n∈N^*）