设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Question

设f(x)＝(ex)/(1+ax2)，其中a为正实数．若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

∵f(x)＝(ex)/(1+ax2)，
∴f'（x）=ex•(1+ax2−2ax)/((1+ax2)2)，
∵f（x）为R上的单调函数，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，
又∵a为正实数，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，解得0≤a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1，
∴a的取值范围为0＜a≤1．