已知函数f(x)=a(x-1)/x^2,其中a>0,1、求函数f(x)的单调区间；2、若x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线求a；3、设g(x)=xlnx-x^2f(x),求g(x)在[1,e]上的最值.

Question

已知函数f(x)=a(x-1)/x^2,其中a>0 ,1、求函数f(x)的单调区间；2、若x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线求a ；3、设g(x)=xlnx-x^2f(x),求g(x)在[1,e]上的最值.

Answer 1

（Ⅰ）因为函数f（x）= a(x��1)x2,
∴f′（x）= [a(x��1)]′��x2��(x2)′a(x��1)x4= a(2��x)x3,f′（x）＞0��0＜x＜2,
f′（x）＜0��x＜0,或x＞2,
故函数在（0,2）上递增,在（-∞,0）和（2,+∞）上递减．
（Ⅱ）设切点为（x,y）,
由切线斜率k=1= a(2��x)x3,��x3=-ax+2a,①
由x-y-1=x- a(x��1)x2-1=0��（x2-a）（x-1）=0��x=1,x=± a．
把x=1代入①得a=1,
把x= a代入①得a=1,
把x=- a代入①得a=-1（舍去）,．
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1）,
∴g′（x）=lnx+1-a,解lnx+1-a=0得x=ea-1,
故g（x）在区间（ea-1,+∞）上递增,在区间（0,ea-1）上递减,
①当ea-1≤1时,即0＜a≤1时,g（x）在区间[1,e]上递增,其最小值为g（1）=0；
②当1＜ea-1＜e时,即0＜a＜2时,g（x）的最大值为g（ea-1）=a-ea-1；
③当ea-1≥e,即a≥2时,g（x）在区间[1,e]上递减,其最小值为g（e）=e+a-ae．