已知f（x）=2ln（1+x）+ax2-2x+3（a>0）（1）求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求y=f（x）的单调区间．

Question

已知f（x）=2ln（1+x）+ax²-2x+3（a>0）
（1）求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）f（x）=2ln（1+x）+ax²-2x+3的导数为
f′（x）=(2)/(x+1)+2ax-2，
f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为2-2=0，且f（0）=3，
则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=3；
（2）由于f′（x）=(2)/(x+1)+2ax-2=(2x(ax+a-1))/(x+1)（x>-1），
若a=1，则f′（x）>0，则f（x）的增区间为（-1，+∞）；
若0<a<1，则f′（x）>0，解得，-1<x<0，或x>(1-a)/(a)，
f′（x）<0，解得，0<x<(1-a)/(a)．
由于(1-a)/(a)>-1，若a>1，则f′（x）>0，解得，x>0或-1<x<(1-a)/(a)，
f′（x）<0，解得，(1-a)/(a)<x<0．
综上可得，a=1时，f（x）的增区间为（-1，+∞）；
0<a<1时，f（x）的增区间为（-1，0），（(1-a)/(a)，+∞），减区间为（0，(1-a)/(a)）；
a>1时，f（x）的增区间为（0，+∞），（-1，(1-a)/(a)），减区间为（(1-a)/(a)，0）．