（本小题满分12分）已知数列为方向向量的直线上，（I）求数列的通项公式；（II）求证：（其中e为自然对数的底数）；（III）记求证：

Question

（本小题满分12分）已知数列 为方向向量的直线上，   （I）求数列 的通项公式； 
（II）求证： （其中e为自然对数的底数）；  
（III）记
求证：

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)见解析（Ⅲ）见解析

（I）由题意，       1分
      1
为首项， 为公比的等比数列。     1分
     1分
（Ⅱ）证明：

构造辅助函数
单调递增，
令
则

   4分
（III）证明：



时，

（当且仅当n=1时取等号）。3分
另一方面，当 时，


                              

（当且仅当 时取等号）。
（当且仅当 时取等号）。
综上所述，有       2分