已知函数f（x）=lnx+kex（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值，并求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）

Question

已知函数f（x）=(lnx+k)/(ex)（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）） 处的切线与x轴平行．
（1）求k的值，并求f （x）的单调区间；
（2）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x>0，g（x）<1+e^-2．

Answer 1

（1）由f（x）=(lnx+k)/(ex)，x∈（0，+∞），得f′（x）=(1-kx-xlnx)/(xex)，x∈（0，+∞）．
由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．所以f′（1）=0，因此k=1．…（2分）
得f′（x）=(1)/(xex)（1-x-xln x），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xln x，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h（x）>0；当x∈（1，+∞）时，h（x）<0．
又e^x>0，所以x∈（0，1）时，f′（x）>0；x∈（1，+∞）时，f′（x）<0．
因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（6分）
（2）因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=(1)/(ex)（1-x-xln x），x∈（0，+∞），
由（1）得，h（x）=1-x-xln x，求导得h′（x）=-ln x-2=-（ln x-ln e^-2）．
所以当x∈（0，e^-2）时，h′（x）>0，函数h（x）单调递增；
当x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）<0，函数h（x）单调递减．…（9分）
所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．
又当x∈（0，+∞）时，0<(1)/(ex)<1，
所以当x∈（0，+∞）时，g（x）=(1)/(ex)•h（x）<1+e^-2，即g（x）<1+e^-2．…（12分）