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已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).问函数f(x)是否为R上的单调递减函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
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已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).问函数f(x)是否为R上的单调递减函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=(-x2+ax)ex,
∴f'(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,
要使函数f(x)是否为R上的单调递减函数,
则f'(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex≤0,
即-x2+(a-2)x+a≤0,
∴x2-(a-2)x-a≥0恒成立,
∴△=(a-2)2+4a2≤0,
∴5a2-4a+4≤0,
∵△1=16-4×5×4=-64<0,
∴5a2-4a+4≤0不成立,
即函数f(x)在R上的不可能是单调递减函数.
∴f'(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,
要使函数f(x)是否为R上的单调递减函数,
则f'(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex≤0,
即-x2+(a-2)x+a≤0,
∴x2-(a-2)x-a≥0恒成立,
∴△=(a-2)2+4a2≤0,
∴5a2-4a+4≤0,
∵△1=16-4×5×4=-64<0,
∴5a2-4a+4≤0不成立,
即函数f(x)在R上的不可能是单调递减函数.
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