（2012•山东）已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=

Question

（2012•山东）已知函数f(x)＝(lnx+k)/(ex)(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=(1−kx−xlnx)/(xex)，x∈（0，+∞），
且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=(1)/(xex)（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，
又e^x＞0，
∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x²+x）f′（x），
∴g（x）=(x+1)/(ex)（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
∴∀x＞0，g（x）＜1+e^-2⇔1-x-xlnx＜(ex)/(x+1)（1+e^-2），
由（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞），
∴x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
x∈（e^-2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，
∴h（x）_max=h（e^-2）=1+e^-2，
∴1-x-xlnx≤1+e^-2，
设m（x）=e^x-（x+1），
∴m′（x）=e^x-1=e^x-e⁰，
∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，
∴m（x）＞m（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，
即(ex)/(x+1)＞1，
∴1-x-xlnx≤1+e^-2＜(ex)/(1+x)（1+e^-2），
∴∀x＞0，g（x）＜1+e^-2．