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已知函数f(x)=exsinx,其中x∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.当x∈(0,π2]时,直线y=kx在函数y=f(x)的图象的下方,则实数k的取值范围.
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已知函数f(x)=exsinx,其中x∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.当x∈(0,
]时,直线y=kx在函数y=f(x)的图象的下方,则实数k的取值范围___.
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▼优质解答
答案和解析
令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,即g(x)≥0恒成立,
而g′(x)=ex(sinx+cosx)-k,
令h(x)=ex(sinx+cosx)⇒h′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx,
∵x∈(0,
],∴h′(x)≥0,
∴h(x)在(0,
]上单调递增,∴1≤h(x)≤e
,
当k≤1时,g′(x)≥0,g(x)在(0,
]上单调递增,g(x)≥g(0)=0,符合题意;
当k≥e
时,g′(x)≤0⇒g(x)在(0,
]上单调递减,g(x)≤g(0)=0,与题意不合;
当1<k<e
时,g′(x)为一个单调递增的函数,而g′(0)=1-k<0,g′(
)=e
-k>0
由零点存在性定理,必存在一个零点x0,使得g′(x0)=0,
当x∈[0,x0)时,g′(x)≤0,从而g(x)在x∈[0,x0)上单调递减,
从而g(x)≤g(0)=0,与题意不合,
综上所述:k的取值范围为(-∞,1].
故答案为:(-∞,1].
而g′(x)=ex(sinx+cosx)-k,
令h(x)=ex(sinx+cosx)⇒h′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx,
∵x∈(0,
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∴h(x)在(0,
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当k≤1时,g′(x)≥0,g(x)在(0,
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当k≥e
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当1<k<e
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由零点存在性定理,必存在一个零点x0,使得g′(x0)=0,
当x∈[0,x0)时,g′(x)≤0,从而g(x)在x∈[0,x0)上单调递减,
从而g(x)≤g(0)=0,与题意不合,
综上所述:k的取值范围为(-∞,1].
故答案为:(-∞,1].
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