已知函数f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．当x∈（0，π2]时，直线y=kx在函数y=f（x）的图象的下方，则实数k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．当x∈（0， (π)/(2)]时，直线y=kx在函数y=f（x）的图象的下方，则实数k的取值范围___．

Answer 1

令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵x∈（0，(π)/(2)]，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，(π)/(2)]上单调递增，∴1≤h（x）≤e(π)/(2)，
当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在（0，(π)/(2)]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当k≥e(π)/(2)时，g′（x）≤0⇒g（x）在（0，(π)/(2)]上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；            
当1<k<e(π)/(2)时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1-k<0，g′（ (π)/(2)）=e(π)/(2)-k>0
由零点存在性定理，必存在一个零点x₀，使得g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x₀）上单调递减，
从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：k的取值范围为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．